Nacque nel 1901 a Ludwigshafen laureandosi in Sociologia all'Università di Mannheim.
A ventisei anni divenne lettore di Sociologia nella scuola economica di Mannheim. nel 1929 venne nominato direttore di un prestigioso istituto educativo per adulti (Volkshochschule).
Nel 1933 i nazisti chiusero il collegio. Eppstein venne chiamato a Berlino per collaborare alla riorganizzazione della rappresentanza ebraica in Germania.
Entrò a far parte del "Comitato Centrale degli ebrei tedeschi per il sostegno e la ricostruzione" e, successivamente nella "Rappresentanza Nazionale degli ebrei tedeschi". Quando i tedeschi imposero all'organizzazione di rinominarsi "Associazione degli ebrei di Germania" Eppstein si occupò della amministrazione e delle attività sociali.
Svolse una attività di contatto con le Autorità naziste cercando di favorire il più possibile l'emigrazione degli ebrei tedeschi.

Alla fine del 1940 a seguito dell'arresto di Otto Hirsch, Eppstein divenne l'unico direttore esecutivo sotto la presidenza di Leo Baeck.
I nazisti resero la vita di Eppstein un continuo inferno arrestandolo diverse volte.
Nell'estate del 1940 venne arrestato e detenuto sino all'ottobre successivo. L'RSHA gli ordinò di cessare ogni attività legata all'emigrazione ebraica limitandosi all'attività amministrativa.

Nel gennaio 1943 venne deportato nel campo di Theresienstadt insieme a Leo Baeck.
Qui venne nominato capo del Consiglio Ebraico sostituendo di fatto Jacob Edelstein. La sua direzione ebbe detrattori ed estimatori.
Nell'estate del 1944 venne arrestato e ucciso.